Funciones lineales

Una función cuya grafica es una recta (no vertical) le llamaremos función lineal, y su criterio es de la forma f(x) = mx + b, donde m y b son constantes.

Pendiente

La representamos con la letra m, y determina la inclinación de la recta respecto al eje x.

Dados dos pares ordenados podemos determinar la pendiente con la siguiente fórmula:

(x₁,y₁) _^ (x₂,y₂)                                                                                             si x₁ ≠x₂

Ejemplos de criterios de funciones lineales

La función f (x)=7x+4 donde m=  7  y b = 4

La función s(x)=11x donde m=  11  y  b= 0

La función g(x)=19 donde m=  0  y  b= 19

La función h(x) = 2x+5 donde m= 2 y b= 5

La función t(x) = -3x +7donde m=-3x  y b = 7

Función lineal constante

Una función lineal es constante cuando el valor de la pendiente es igual a 0 m = 0

Ejemplos

P (6, -5)  y  Q (2, -5)

P (-6, 3)  y  Q (7, 3)

P (2, 8)  y  Q (2, 8)

P (7,1)  y  Q (4,1)

P (3,9)  y  Q (8,9)

Función lineal estrictamente creciente

Una función lineal es estrictamente creciente cuando el valor de la pendiente es mayor que 0  m > 0

Ejemplos

P (0,0)  y  Q (-8,-5)

P (-4,3)  y  Q (3,5)

P (1,1)  y  Q (2,7)

 

P (2,-1)  y  Q (5,2)

P (4,0)  y  Q (3,-2)

Función lineal estrictamente decreciente

Una función lineal es estrictamente creciente cuando el valor de la pendiente es menor que 0  m < 0

P (-5,-3)  y  Q (7,-4)

P (-1,0)  y  Q (0,-2)

P (9,4)  y  Q (5,7)

P (5,1)  y  Q (3,5)

P (8,1)  y  Q (3,4)

Ejemplos de graficas de funciones constantes

∩y (0,-3)

∩y (0,-1.5)

∩y (0,2.5)

Ejemplos de graficas de funciones estrictamente creciente

 ∩x (-3,0) 

 ∩y (0,3)

∩x (-2,0) 

∩y (0,3)

∩x (5,0)

∩y (0,-4)

Ejemplos de graficas de funciones estrictamente decreciente

 

∩x (5,0)

∩y (0,4)

∩x (-5,0)

∩y (0,-3)

∩x (-2,0)

∩y (0,-1)

Funciones Cuadráticas

Función cuadrática

Una función cuadrática es una función f: R     R cuyo criterio de asociación es de la forma: 

f

(

x

)

=ax2+bx+c

Con a, b y c constantes reales, a ≠ 0

  

CONCAVIDAD

• Si a > 0 la función es cóncava hacia arriba

Ejemplo: f(x)= x²- 4x-5

a = 1   b = -4 c = -5 

       

          a >  0

• Si a < 0 la función es cóncava hacia abajo

Ejemplo: f(x)= –x²-4x-5

              

a = -1     b = -4   c = -5

          

                 a < 0

CORTE CON EJE X

• Si ∆ > 0 corta al eje x en dos puntos

 

Ejemplo: x2-4x+3

0= x²-4x+3

∆= b² - 4 · a · c

∆= (-4)² – 4 · 1 · 3

∆=16 -12

∆= 4          

X₁= 3                 X₂ =1             

∩x= (3,0) (1,0)               

 

                                                                           

• Si ∆ = 0 corta al eje x en un punto

 

0= x² – 2x +1

∆= b2 – 4ac

∆= (-2) 2 – 4 ·1·1

∆= 4-4                                    

∆= 0

x=1    

                                     

∩x= (1, 0)

 

• Si ∆< 0 no corta al eje x

Ejemplo: f(x) = 2x² – 3x + 4

0= 2x² – 3x + 4

∆= b² – 4 · a · c

∆= (-3)² – 4 ·2 · 4

∆= 9 -32

∆= -23

No hay corte con el eje x

CORTE CON EJE Y

• El corte con el eje y se da en el punto: (0, C)

 

Ejemplo: f(x)= -x²

a = -1    b = 0    c = 0

         

 ∩y= (0,0)

VÉRTICE

Es el punto (X, Y), su formula es: 

∆= b² – 4 · a · c

 

•  Si a < 0 el punto vértice es PUNTO MÁXIMO

Ejemplo: f(x) =-3x²-2x +1

a = -3   b= -2  c= 1                                           

a< 0  punto máximo                                                                  

∆= b² – 4ac                                                            

∆=(-2) ² – 4· –3·1                                                   

∆=4+12                                                                  
∆=16          

X₁=1   X₂=0,3

                                                            

 

• Si a > 0 el punto vértice es PUNTO MINIMO

  

Ejemplo: f(x)=x²-2x-3

a=1 b= -2 c= -3

a>0  punto mínimo                                                                      

∆=b²-4ac

∆= (-2)²-4ac

∆=4+12

∆=16               

 X₁= 3   X₂= -1

                                                 

EJE DE SIMETRÍA

Es la recta que divide a la parábola en dos partes iguales, es la paralela al eje y que pasa por el vértice y se calcula con la fórmula: 

 

Ejemplo: f(x)=x²-4x-5

a= 1   b= -4   c= -5

 

INTERVALO DONDE ES CRECIENTE O DECRECIENTE

• Si es cóncava hacia arriba (a>0)

Es estrictamente creciente en:    

Es estrictamente decreciente en:

 

• Si es cóncava hacia abajo (a<0)

Es estrictamente creciente en     

Es estrictamente decreciente en 

                                                                             

                                                   

ÁMBITO

• Si es cóncava hacia arriba  (a>0)  el ámbito es:  

Ejemplo: f(x)= x²-3 

a=1  b=0  c= -3

a>0

∆=b²-4ac

∆= (0)² – 4 ·1 · (-3)

∆= 0 +12

∆=12

• Si es cóncava hacia abajo (a<0) el ámbito es: 

                                                         

Ejemplo f(x)=-5x²+3x+1

a= -5   b=3  c=1

a<0                                                     

∆=b²-4ac

∆= (3)²-4· (-5) ·1

∆=9+20

∆= 29

 

Ejemplos de criterios de funciones cuadráticas

1) f(x) = 5 X ² – 3x – 2 

          

a= 5  b= -3  c= -2  

                 

2) f(x) = 3 x ² - 4 

               

a=3    b= -4   c=0  

             

3) f(x) = -4 x ²

a = -4   b=0   c=0

4) f(x) = x ²  - 4x - 5

a=1  b= -4  c= -5

5) f(x) = 4x ² – 4x + 1

a=4  b= -4  c=  1