Función cuadrática
Una función cuadrática es una función f: R R cuyo criterio de asociación es de la forma:
f | ( | x | ) | =ax2+bx+c |
Con a, b y c constantes reales, a ≠ 0
CONCAVIDAD
- Si a > 0 la función es cóncava hacia arriba
Ejemplo: f(x)= x2- 4x-5
a = 1 b = -4 c = -5
a > 0
- Si a < 0 la función es cóncava hacia abajo
Ejemplo: f(x)= –x2-4x-5
a = -1 b = -4 c = -5
a < 0
CORTE CON EJE X
- Si ∆ > 0 corta al eje x en dos puntos
Ejemplo: x2-4x+3
0= x2-4x+3
∆= b2 - 4 · a · c
∆= (-4)2 – 4 · 1 · 3
∆=16 -12
∆= 4
X1= 3 X2 =1
∩x= (3,0) (1,0)
- Si ∆ = 0 corta al eje x en un punto
0= x2 – 2x +1
∆= b2 – 4ac
∆= (-2) 2 – 4 ·1·1
∆= 4-4
∆= 0
x=1
∩x= (1, 0)
- Si ∆< 0 no corta al eje x
Ejemplo: f(x) = 2x2 – 3x + 4
0= 2x2 – 3x + 4
∆= b2 – 4 · a · c
∆= (-3)2 – 4 ·2 · 4
∆= 9 -32
∆= -23
No hay corte con el eje x
CORTE CON EJE Y
- El corte con el eje y se da en el punto: (0, C)
Ejemplo: f(x)= -x2
a = -1 b = 0 c = 0
∩y= (0,0)
VÉRTICE
Es el punto (X, Y), su formula es:
∆= b2 – 4 · a · c
- Si a < 0 el punto vértice es PUNTO MÁXIMO
Ejemplo: f(x) =-3x2-2x +1
a = -3 b= -2 c= 1
a< 0 punto máximo
∆= b2 – 4ac
∆=(-2) 2 – 4· –3·1
∆=4+12
∆=16
∆=16
X1=1 X2=0,3
Si a > 0 el punto vértice es PUNTO MINIMO
Ejemplo: f(x)=x2-2x-3
a=1 b= -2 c= -3
a>0 punto mínimo
∆=b2-4ac
∆= (-2)2-4ac
∆=4+12
∆=16
X1= 3 X2= -1
EJE DE SIMETRÍA
Es la recta que divide a la parábola en dos partes iguales, es la paralela al eje y que pasa por el vértice y se calcula con la fórmula:
Ejemplo: f(x)=x2-4x-5
a= 1 b= -4 c= -5
INTERVALO DONDE ES CRECIENTE O DECRECIENTE
- Si es cóncava hacia arriba (a>0)
Es estrictamente creciente en:
Es estrictamente decreciente en:
- Si es cóncava hacia abajo (a<0)
Es estrictamente creciente en
Es estrictamente decreciente en
ÁMBITO
- Si es cóncava hacia arriba (a>0) el ámbito es:
Ejemplo: f(x)= x2-3
a=1 b=0 c= -3
a>0
∆=b2-4ac
∆= (0)2 – 4 ·1 · (-3)
∆= 0 +12
∆=12
- Si es cóncava hacia abajo (a<0) el ámbito es:
Ejemplo f(x)=-5x2+3x+1
a= -5 b=3 c=1
a<0
∆=b2-4ac
∆= (3)2-4· (-5) ·1
∆=9+20
∆= 29
Ejemplos de criterios de funciones cuadráticas
1) f(x) = 5 X 2 – 3x – 2
a= 5 b= -3 c= -2
2) f(x) = 3 x 2 - 4
a=3 b= -4 c=0
3) f(x) = -4 x 2
a = -4 b=0 c=0
4) f(x) = x 2 - 4x - 5
a=1 b= -4 c= -5
5) f(x) = 4x 2 – 4x + 1
a=4 b= -4 c= 1
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